1.1
La hipótesis de Riemann
La Hipótesis de Riemann fue formulada
en 1859, por Bernhard, está hipótesis es una conjetura sobre la distribución de
los ceros de la función zeta de Riemann.
A la conjetura de Riemann, se le
considera una de los problemas abiertos de la matemática contemporánea, tanto así
que hoy en día existe un premio ofrecido por el Instituto de Clay, por quien
desarrolle una demostración correcta de esta conjetura.
Función Zeta de Riemann ζ(s) está definida de la siguiente manera:
Dónde
para todos los números complejos
, se puede
prolongar analíticamente mediante la ecuación funciona:
En este está función aparece el concepto de cero trivial,
para los cuales la función zeta se anula. Con la ecuación anterior se puede
determinar que
… son ceros triviales. Se
dice que existen otros valores complejos que se encuentran entre
para los que la función zeta
también se anula, denominados ceros ¨No triviales¨.
Riemann en su conjetura hace
referencia a estos ceros denominados no triviales afirmando que:
La parte real de todo cero no trivial de la
función zeta de Riemann es
De esta
manera se entiende que los ceros no triviales deberían de encontrarse en la
línea crítica s = 1/2 + i de donde t es un
número real e i es la unidad imaginaria.
Distribución
de los ceros en lafunción Zeta de Riemann
Los
valores para los cuales la función se hace cero, son necesariamente de la forma
i. Hasta el momento no se ha encontrado ningún
valor que cumpla con esta condición, pero la vez no se ha podido demostrar que
ocurra para todos los valores. Es por esto que esta conjetura constituye uno
de los problemas abiertos más
importantes de las matemáticas hoy en día.
1.2
La conjetura de Goldbach
La conjetura de Goldbach, es una de
las conjeturas más famosas y de los problemas directos más antiguos en
matemáticas. Para algunos es considerado el problema más difícil de la historia
de las matemáticas, a continuación su enunciado:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos, Christian Goldbach (1742).
Ésta conjetura se basa principalmente en las consideraciones estadísticas
sobre la distribución probabilística de los
números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más «probable» que
pueda ser escrito como suma de dos números primos.
Dice la historia que
el 07 de junio de 1742, Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard
Euler, donde le decía que pensara en una demostración para la afirmación de que
de todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de
dos números primos. Por ejemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5
Se dice que Euler no pudo encontrar una
demostración a esta conjetura y hasta el dia de hoy nadie la ha podido
demostrar o contradecir. Con la facilidad de las computadoras hasta el momento
se ha comprobado que se cumple para 10 000 000 000 000, pero al ser los números
infinitos es posible que a como las computadoras se han cada vez más potentes,
se encuentren más números pero esto no es una demostración sino una
comprobación de casos.
Carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler
Euler envía como respuesta a Goldbach la consideración siguiente:
Que un número que sea resoluble en dos números
primos, se puede descomponer a la vez en tantos números primos como se quiera,
puede ser ilustrado y confirmado a partir de una observación que su excelencia
me había comunicado anteriormente, que todo número par es una suma de dos
números primos. Puesto que el número propuesto n es par, entonces n es una suma
de dos números primos y como n-2 también es una suma de dos números primos,
entonces n es una suma de tres, y también de cuatro, etc. Si n es un número
impar entonces él es una suma de tres números primos, porque n-1 es una
suma de dos y por tanto se puede resolver varias partes.
Entonces Euler añade:
Pero el que todo número par sea una suma de dos primos lo considero un
teorema, a pesar de que no puedo demostrarlo…
TEOREMA:
|
Todo
número par mayor que 2 puede ser escrito al menos de una forma como suma de
dos números primos.
|
Sin embargo, ni la imaginación de
Euler ni la de todos los matemáticos han logrado una respuesta afirmativa desde 260 años. Esta conjetura se conoce en
la actualidad con el nombre de Conjetura Binaria o Fuerte de Goldbach.
Gracias a la Conjetura Fuerte de Goldbach, se deduce la Conjetura Débil o Ternaria de
Goldbach que se expresa en la forma actual:
|
Todo
número impar mayor que 5 puede ser escrito al menos de una forma como suma de
tres números primos.
|
La demostración de esta afirmación a partir de la validez de la
Conjetura Fuerte de Goldbach es muy sencilla, pues si n es un número
impar mayor que 3, entonces se cumple que n=3+m, al considerar a m
un número par mayor que 2, el cual, a su vez, según la Conjetura Fuerte de
Goldbach, es la suma de dos números primos m=p+q.
1.3
Conjetura de los Primos Gemelos
Para entender ésta
conjetura se debe comprender la
definición de dos primos gemelos que afirma que dos números don primos gemelos si uno de ellos, es igual al otro más dos
unidades.
Algunos
ejemplos de parejas de primos gemelos son los siguientes:
(3, 5)
|
(5, 7)
|
(11, 13)
|
(17, 19)
|
(29, 31)
|
(41, 43)
|
(59, 61)
|
(71, 73)
|
(101,
103)
|
(107,
109)
|
(137,
139)
|
(149,
151)
|
(179,
181)
|
(191,
193)
|
(197, 199)
|
(227,
229)
|
(239,
241)
|
(269,
271)
|
(281,
283)
|
(311,
313)
|
(347,
349)
|
(419, 421)
|
(431,
433)
|
(461,
463)
|
(521,
523)
|
(569,
571)
|
(599,
601)
|
(809,
811)
|
Esta conjetura dispone que existen infinitos primos
gemelos donde estable que:
¨Existe un número
infinito de primos p tales que p + 2 también es primo¨
Muchos
de los matemáticos de la época creen que la conjetura es cierta, pero no se ha
podido demostrar, a pesar de basar su análisis en evidencias numéricas y
razonamientos heurísticos sobre las distribuciones de probabilidad de los
números primos.
Alphonse
de Polignac formuló en el año de 1849, una conjetura más general a esta, donde estable que: para todo número natural k
existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2k. Donde el caso k = 1 es
la conjetura de los primos gemelos.Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613 · 2195000 - 1 y 2003663613 · 2195000 + 1, que tienen 58711 dígitos, estos fueron descubiertos en el año 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko.
Anteriormente,
el par 100314512544015 · 2171960 - 1
y 100314512544015 · 2171960 + 1, que tiene 51.780 dígitos
y fue descubierto en el 2006 por los matemáticos húngaros: Zoltán
Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza y Antal Járai
1.4
Conjetura de Hardy
– Littlewood
Es una
generalización de la conjetura de los primos gemelos, sobre la distribución de
los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números primos.
Donde
se denota como a
el número de
primos p menores que x tales que p + 2 también es primo. Se define la constante
de los números primos como
como el producto de Euler de la siguiente manera:
La conjetura
de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números
primos gemelos similar al teorema de los números primos:
donde C2 es
la constante de los números primos gemelos, definida mediante el
siguiente producto de Euler:
Esta conjetura puede justificarse pero no demostrarse, se supone, que que n no sea divisible
por p y que n+2 no es divisible por p, ya estos
son son dependientes.
1.5 Primos de
Fermat
Los Primos de Fermat fueron nombrados en honor a Pierre de Fernat, ya que fue el quién por primera vez estudio los números primos. Un primo de Fermat es un número primo de la forma 2
|
n=1
|
n=2
|
n=4
|
n=8
|
n=16
|
n=32
|
|
3
|
5
|
17
|
257
|
65537
|
641*6700417
|
|
n = k
|
|
Procedimiento
|
Valor
|
|
n = 0
|
|
|
3
|
|
n = 1
|
|
|
5
|
|
n = 2
|
|
|
17
|
|
n = 3
|
|
|
|
|
n= 4
|
|
|
65537
|
Pero Leonhard Euler, probo que para n = 5, se
obtiene un número compuesto.
Es por esta razón que sólo se conocen cinco
números primos de Fermat, pero no se ha podido demostrar esta conjetura, por lo que sigue sin
demostrarse.
1.6 Primos de
Mersenne
Se definen como primos de Mersenne a los números
primos de la forma:
|
n=2
|
n=3
|
n=5
|
n=7
|
n=13
|
n=17
|
|
M(1)=3
|
7
|
31
|
127
|
8191
|
M(6)=131071
|
El
número de Mersenne más grande que se conoce es M(38)=26.972.593-1 (1
de Julio de 1999).
Gráfico que representa el
número de cifras de cada uno de los primos de Mersenne conocidos